生命的資訊是程序與型態的記憶

描述生命的DNA所記錄的資訊包含了形態與程序。然而其對形態的記憶並不是如一般所想的大眼睛小鼻子等身體形態。事實上我們所見到的身體形態反而是經由發育的程序而來，而發育的程序似乎是透過間接而微妙的機制讓每一個細胞知道甚麼時候該合成哪一種物質，經由化學反應鏈而引發一連串相關事件而來。基因所記錄的形態資訊是針對蛋白質的結構，等於是製造人體所需眾多蛋白質的秘密配方。程序的記憶從形態的相關性而來。形態相關性讓眾多的隨機事件有特定的選擇，而一連串特定事件的選擇就是程序。

程序與形態資訊是相互依存的。儲存形態資訊的資料可以在在更高層次，利用型態間相關性定義程序。同樣的，描述程序的資料可能在高層次的架構中隱含著形態資訊，而所謂的高層次之上還有更高的層次，一直到整批資料與周邊涵構成為一個不可分割的整體為止，就到達了最高層次。

對稱性是創造之鑰

對稱性是解讀自然奧秘之鑰，也是創造之鑰。在創造任何事物的過程中，資訊的掌控是產生結構性的關鍵。缺乏資訊的話，任何創造的動作最後只會產生隨機的混亂或者全然的單調。

創造是行動的累積成果。行動可以是具疊加性的讓結構產生；也可以是破壞性的，將多餘去除。行動的過程需要資訊，資訊的複雜度決定行動的複雜度。行動的過程通常具備某種結構，結構的產生在於資訊傳遞的模式。每一個段落的行動有密集的資訊處理程序，段落與段落之間則只有較少量的相關資訊。例如將一張紙對摺，在對摺的過程中我們需要用手和眼將紙張的一邊對齊另一邊，然後慢慢尋找中間等分的摺線所在，最後用力壓平讓紙張形成一個穩定的摺痕。這個動作是一個連貫的過程，如果動作在其間中斷，許多重要的資訊將就此消逝，必須重新取得。摺痕產生之後所創之物形成穩定狀態，這時鬆手也不會喪失關鍵的資訊。因此說動作的段落可以用資訊的相關性來區隔就是如此。

結合許多段落的連貫動作就是程序。程序的對稱性是指在時間的轉換下其程序保持不變。時間的轉換和幾何一樣，可以是平移、鏡射、縮放或者其他形式，至於旋轉因為牽涉到兩個向度，所以必然與空間有關而不會全然是在時間轉換下的對稱性。對稱的程序可能產生空間上對稱的形體，也可能不會，其關係另做討論。對稱的程序讓我們可以用簡單的資訊創造出複雜的形式。任何一個機制，包括人在內，所能處理的資訊都是受限於許多內外在的條件。一個動作程序能否被正確有效的執行也在於行動者能否掌握所需的資訊。如果建構一項物品需要一千的動作，其間沒有程序的對稱性，則創造者需正確的執行一千個動作，並掌握這一千個動作所需要的資訊。如果這一千的動作有某些可掌握的對稱性，那麼描述與控制這一千個動作的資訊就可以用更簡要的形式記下來或記錄下來。

對稱的程序動作所創造事物的外在形體也會具備某些容易觀察或者不易觀察的對稱性。對稱的部分可能源自於對稱的程序，也可能源自於對稱的環境。所謂環境是指動作發生時之處境。對稱的程序若產生非對稱的形式也是源自於與環境的互動過程中，有其他面向的對稱性必須保持。例如我們不斷的將一張紙對摺，雖然每一次的動作都一樣，但隨著摺疊次數增加，摺疊所受到阻力增加，所產生的摺角也逐漸變圓，甚至斷裂。每次摺疊都因為紙張厚度的改變而不同，其原因在於摺疊這個動作與紙張形式性質之間的物理關係是不變的，這個現象我們可說對稱的形式存在於另一個面向，因此我們說對稱性的破壞源自於其他面向的對稱性。

多面體與對稱性

參考自維基百科　http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedra的網頁後知道多面體可以用點線面的對稱性加以分類。每一種分類都無所謂的對錯，但針對特定目的而言會有適當與否的問題。而有些未針對特定目的分類則通常能直指分類對象最重要的特質，讓人在掌握這些特質後就能有通盤的了解。以點線面的對稱性來分類對多面體的了解確有很大的幫助。對建築而言，多面體點線面的對稱性在設計與工程上有重大的意義。點的對稱性代表多面體造型的構架所需節點的種類，線的對稱性代表所需桿件的種類，面的對稱性則代表所需包覆材料的種類。構架的建造方法、程序也與對稱性有關。

以富勒圓球的構築為例，圓球的基本形二十面體是高度對稱的正多面體。基本上只要一種接頭，一種桿件，一種包覆面材，用同樣的接合方式就可以組裝。如果面材本身可以相互連結，則二十片三角形用同樣的角度連接就可以完成。富勒圓球以二十面體為基礎，在每一次的精緻化過程中將每一個三角形切割為四個三角形後將新產生的三角形頂點上推至外切圓上。這個動作破壞了對稱性，需要兩種的頂點、兩種桿件與兩種三角面來構成。經歷第二次精緻化過程後會產生更多種類的頂點、桿件與包覆三角面。而這個代價則是為了維持每一個頂點對圓球中心距離之對稱性而付出的。

以下節錄自維基百科：

多面體的對稱性

高度對稱的多面體具備高度對稱的幾何特徵（點線面）。根據點線面的對稱性可以將多面體區分為下列各類別：

• Isogonal or Vertex-transitive ：多面體的每個頂點都相同。任選兩個頂點，必定存在一個對稱轉換，可將其一頂點對應到另一頂點。
• Isotoxal or Edge-transitive ：多面體的每個邊都相同。任選兩個邊，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Isohedral or Face-transitive ：多面體的每個面都相同。任選兩個面，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Regular：多面體同時是 vertex-transitive, edge-transitive 以及 face-transitive (也就是說，每一個面都必須是 regular polygon;每一個頂點也必須是 regular).
• Quasi-regular：多面體為 vertex-transitive 以及 edge-transitive (因此具備正多邊形) 但不是 face-transitive.
  
• Semi-regular：多面體為 vertex-transitive 但並非 edge-transitive, 每個面為 regular polygon. (This is one of several definitions of the term, depending on author. Some definitions overlap with the quasi-regular class). 一個 semi-regular dual則為 face-transitive但不是 vertex-transitive, and every vertex is regular.
• Uniform if it is vertex-transitive and every face is a regular polygon, i.e. it is regular, quasi-regular or semi-regular. A uniform dual is face-transitive and has regular vertices, but is not necessarily vertex-transitive).
• Noble if it is face-transitive and vertex-transitive (but not necessarily edge-transitive). The regular polyhedra are also noble; they are the only noble uniform polyhedra.

一刀能切出哪些種多邊形

一張紙經過適當的摺疊後，能不能以一刀切出所指定的多邊形?有許多種多邊形應該是沒有辦法如此切出，但一刀能切出的多邊形有哪些種呢？對於這些多邊形要如何摺疊，才能一刀切出？這個問題就是在問要如何摺疊平面才能讓一個指定的多邊形每一條邊落在同一條直線上，而且這條直線不能穿過多邊形的內部區域。

原先以為必須對稱的圖形才行，例如十字形，但後來查覺這實在是個愚蠢單純的想法，一刀當然可以切出不對稱的造型。不過且慢，那些乍看下不對稱的造型真的不對稱嗎？

任意三角形的剪法就是先以山線摺出每個角的分角線（這不就是對稱嗎？）三內角的等分線一定交叉在同一點。從這一點再以谷線摺出到其中兩邊的垂直線，就可以將三角形的三個邊對在同一直線上，沿此一刀剪下就是這個三角形。

類似的方法可以用來剪四邊形，凸四邊形與凹四邊形略有不同。凸四邊形先以山線摺出每個角的分角線，兩兩交於四個點。選擇相對的兩個點，其邊線沒有相交，摺出一條山線連接該二點。分別從這兩個點摺出一個鄰邊的垂直谷線。從其展開圖中可以找到一條彎折的線連接對角，而這個彎折的線約略區隔出兩個大致對稱的的區域，我並不清楚是否可以稱之為局部對稱，不過認為這是有趣的想法。凹四邊形則須修改山線與谷線的配置，如右下圖。

對於任意多邊形可能有一些方法可以找到摺疊的方式而一刀切出。這到底有甚麼用我不知道，但從這裏我覺得可以分析一個任意多邊形的對稱性。對於一個形狀我們不一定馬上可以看出整體的對稱性，例如鏡射或旋轉對稱，但可以藉由局部的對稱性將複雜的多邊形逐步簡化。分角線可以將多邊形相鄰的兩個邊對映在一起，而一個邊的垂直線則可以將邊的一部份與該邊的另一部份對映在一起。右圖相對的兩個角等分線的交叉點連結在一起形成的線好比是這個四邊形的脊椎骨，把整個造型分為近似對稱的兩邊。


我猜任一的凸多邊形應該沒有問題，而且可以找到通解。凹多邊形恐怕就有許多限制，而到底是哪些限制，然後哪些凹多邊形可以摺疊後一刀切出恐怕是一個困難的問題。

對稱性，以及不影響對稱性的變動

在物體千變萬化的形式中看出不變的對稱性，以及在不影響這個對稱性之下可變動的成份是非常重要的智慧。對任何事物都可以運用這個原則取得更深層次的了解，做出更具創意的運用。

我們往往為不同層次的對稱性取不同的名稱。例如當我們分析物品的形式時，一個有用的概念就是區分出功能、結構以及造型三個層次。功能是最高層級的對稱性，也就是在造型及結構改變之下，功能維持不變。例如一個杯子的功能是可以盛裝液體，並可以讓我們從杯子飲用其盛裝的液體。一個杯子可以有不同的材料、結構但功能不變，而相同的材料結構則可以改變其造型。

這三個層次對稱性的分際並不是必然的結果，而是一種選擇性的認知。可能我們在面對更簡單的事物時，只需要兩個層次；而面對更複雜的事物時，三個層次仍不足。至於是否稱為功能、結構與造型，其實也是見仁見智。真正核心的思想就是分辨不同層次的對稱性，找出不變的以及可變的。

愛斯基摩人的冰屋

此網址的影片是我看過介紹愛斯基摩人冰屋最詳盡並且正確的做法。youtube有許多宣稱為igloo的，都是有許多細節的問題的不良示範，我認為。

1. 選好地點，具備充分且硬度適當的壓實的雪。
2. 劃定圓形區域，在其內部切割矩形雪塊。所挖出的洞在冰屋內部，因此冰屋可以降低所需高度，同時建冰屋時人必須在裡面，如果人和雪塊都在在外面要如何搬運和安放？除非有兩人以上。
3. 將雪排列一圈後削切成斜坡，此後沿斜坡螺旋堆積而上，並逐漸向內部傾斜。許多影片顯示的作法為平行的圓圈一圈一圈砌，隨著傾斜度增加，要保持每一圈的第一塊不倒塌的難度會越來越高，因為第一塊只有底部與其他雪塊接觸，毫無任何支撐。如果是螺旋線旋轉而上，就沒有所謂的第一塊。每一塊都有側面的雪塊輔助支撐，所完成的雪屋才有可能趨近半圓球，否則會是難看的尖尖造型，浪費材料工夫不說，並增加散熱面積，降低強度。
4. 最後一塊完成後，在頂部挖一個小小的通氣孔，在南向立面切出開口以供出入。

這個做法是最經濟有效而堅固的，而且可以一個人獨力完成，是充滿智慧的發明。這個作法不論在造型，或者建造程序都是高度對稱。從對稱性的角度看，愛斯基摩人的冰屋有兩點值得討論，第一就是為何採取圓形為基本造型？第二是為何以螺旋線上升的方式來構築？我的看法如下：

1. 圓形是對稱性最高的造型，其形式完全沒有特徵，結構上不會產生特別強或者特別弱的部分。
2. 圓球形其容積與面積比最大，同體積的容器中以圓球形容器最不易散熱
3. 螺旋砌法在程序上最對稱，除開始與結尾外每一個步驟都一樣，在逐漸向內傾斜的過程中較不易坍塌。

和音

以Equal Temperament為基準的音階差半音的兩個音之間頻率比大約1.059463，就是2的12次方根。這個比例自乘12次之後會等於二，也就是一個八度和絃的頻率比。兩個八度和弦聲音的合成波形會與頻率較低聲音有一樣長的循環周期，耳朵聽起來會覺得是一個和諧的聲音，不會有抖動的感受。如果兩個聲音是五度和弦的話，例如C和G，其頻率比例是1.059463的7次方，大約是1.5，也就是3/2。如果再加上一個E，其與C之間是大三度，頻率比是1.059463的4次方，大約1.26，接近1.25，也就是5/4。E與G之間則差了三個半音，頻率比是1.059463的3次方，大約1.189，接近1.2，也就是6/5。CEG三個音之間的頻率比值大約是4:5:6，是簡單的整數比。

對稱性是一切複雜的來源

對稱性是從簡單的源頭到複雜結構的緣由，也是美的緣由。物理學家追求物質世界對稱性之美，數學家追求抽像結構對稱性之美，音樂家追求聲音結構對稱性之美，建築師追求構造物對稱之美....

所有自然或者人造事物，無一不是由簡單的源頭經由對稱性的建構而成。即使是表面上對稱的破壞也都是因著更深層對稱性的建構而來。以精簡的資訊建構複雜構造的唯一途徑就是重複。但重複通常只會帶來單調而不是複雜。關鍵在於對稱性並非單一而是多層次，多面向。層次與次之間，面向與面向之間各種對稱性互相干涉，而產生複雜瑰麗的形式。

一個C的音調是由簡單重複的波形而來。如果再加上一個E，在原本單調重複的波形上疊加了更高頻率的簡單重複波形，兩個對稱形式互相干涉成為和諧的整體。