一刀能切出哪些種多邊形

一張紙經過適當的摺疊後，能不能以一刀切出所指定的多邊形?有許多種多邊形應該是沒有辦法如此切出，但一刀能切出的多邊形有哪些種呢？對於這些多邊形要如何摺疊，才能一刀切出？這個問題就是在問要如何摺疊平面才能讓一個指定的多邊形每一條邊落在同一條直線上，而且這條直線不能穿過多邊形的內部區域。

原先以為必須對稱的圖形才行，例如十字形，但後來查覺這實在是個愚蠢單純的想法，一刀當然可以切出不對稱的造型。不過且慢，那些乍看下不對稱的造型真的不對稱嗎？

任意三角形的剪法就是先以山線摺出每個角的分角線（這不就是對稱嗎？）三內角的等分線一定交叉在同一點。從這一點再以谷線摺出到其中兩邊的垂直線，就可以將三角形的三個邊對在同一直線上，沿此一刀剪下就是這個三角形。

類似的方法可以用來剪四邊形，凸四邊形與凹四邊形略有不同。凸四邊形先以山線摺出每個角的分角線，兩兩交於四個點。選擇相對的兩個點，其邊線沒有相交，摺出一條山線連接該二點。分別從這兩個點摺出一個鄰邊的垂直谷線。從其展開圖中可以找到一條彎折的線連接對角，而這個彎折的線約略區隔出兩個大致對稱的的區域，我並不清楚是否可以稱之為局部對稱，不過認為這是有趣的想法。凹四邊形則須修改山線與谷線的配置，如右下圖。

對於任意多邊形可能有一些方法可以找到摺疊的方式而一刀切出。這到底有甚麼用我不知道，但從這裏我覺得可以分析一個任意多邊形的對稱性。對於一個形狀我們不一定馬上可以看出整體的對稱性，例如鏡射或旋轉對稱，但可以藉由局部的對稱性將複雜的多邊形逐步簡化。分角線可以將多邊形相鄰的兩個邊對映在一起，而一個邊的垂直線則可以將邊的一部份與該邊的另一部份對映在一起。右圖相對的兩個角等分線的交叉點連結在一起形成的線好比是這個四邊形的脊椎骨，把整個造型分為近似對稱的兩邊。


我猜任一的凸多邊形應該沒有問題，而且可以找到通解。凹多邊形恐怕就有許多限制，而到底是哪些限制，然後哪些凹多邊形可以摺疊後一刀切出恐怕是一個困難的問題。