圓頂的構造 An example of geodesic dome by Grasshopper

常常看到同學作設計時以地球儀的方式來畫圓頂構造．其實圓頂構造如果以Bulkminster Fuller（參照　http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic_dome）於1926年提出之數學建構方式設計，在結構與工程上，甚至外觀上都可以更好。

模仿地球儀的構造可能是最直接的，不過在垂直向度上，各角度經線最後集中在南北極的兩個點上。如果直接以經緯線作為結構的支撐，顯然這是極不合理的構造。最好的結構系統應該沒有任何部分的結構強度相對於其可能受力是過強或者過弱。過強是浪費，而過弱則讓整體結構安全性下降。圓球是極為對稱的造型，而地球儀般分布極為不均勻的構造方式不可能是合理的。如果以半球形圓頂為例，地球儀構造的重量集中在最高點，其強度沒有發揮的機會，而其重量造成下層結構的負擔。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/220px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/G%C3%A9ode_V_3_1.gif

上圖是從wikipedia連結的圓球，以繪製地球儀的方式繪製。可以看出構造上最密集的地方就在南北極兩個頂點。另外一張上圖也是從wikipedia連結過來的圖片，是以Fuller提出的幾何結構畫出來，一個近似圓球的多面體。依據Fuller的方法，這個多面體可以無限制的依照需求加以細緻化為更接近圓球的造型。

一般的電腦繪圖系統可能沒有提供這種geodesic dome的繪製功能。我用Rhino Grasshopper建了兩個component。(下載檔案) 第一個是繪製一個二十面體(icosahedron)，也就是geodesic dome的基本型。第二個component是以visual basic在grasshopper中寫出，可以對以mesh表示之二十面體或其他的多面體加以細化成更近似圓球的多面體，其結果以mesh表示。以下就是程式產出的結果，分別是經過0次，1次，3次與5次的細化。細化的次數在理論上可以沒有限制，但第五次細化後已經有20480個三角形，所以這個程式把上限設在5次，如果需要更高階的細化只要進入程式改一下就可以了，能執行到多高階的細化就看電腦的速度和記憶體容量了。這種構造乍看之下是由許多正三角形構成，但實質上不管是多細緻的geodesic dome，整個圓球只有二十個正三角形，就是從其原型正二十面體的二十個正三角在細緻化過程其對稱性未受破壞而保留下來的，其餘的所有三角形都有不相等的邊長。幾何上不可能由正三角形來構成近似圓球的曲面，因為圓球的高斯曲率大於零，環繞在同一個頂點的三角形角度的總和必定小於360度。如果是正三角形60度的角，六個正好是360，五個又太小，只能形成像二十面體一樣的多面體，和圓球曲面有很大的差距。（台灣大哥大的球形標誌就是一個錯誤的例子，以六個正三角形環繞頂點的近似球體是不可能被實際建構出來的，因此如果該公司想要將這個標誌製作成實體的話，其構成的三角形必定不等邊，比例上大概也不太好看）Geodesic Dome細緻化過程是一種對稱性破壞的過程，越細緻的圓球需要越多種不同長度的桿件來組構。

下圖也是引用自wikipedia，是Fuller於1967年蒙特婁世界博覽會所設計的美國館，是一個直徑60公尺的3/4圓球，由雙層　geodesic dome構成，結構極為輕盈，遠看就像肥皂泡一樣。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Mtl._Biosphere_in_Sept._2004.jpg/300px-Mtl._Biosphere_in_Sept._2004.jpg