超級大贏家

資訊透明化的程度定義了一個溝通網絡的某種性質，這個性質與資訊交換成本有關，也影響了網絡接各節點的連結強度。

這個性質可以決定整個組織發展的極限。資訊透明的組織發展的潛力大，只要有足夠的空間，一個組織會發展到最適合其溝通系統的尺度。尺度過大或者過小都會導致 不穩定，如果其與環境互動產生的影響是正回饋，那麼組織將分崩瓦解；如果是負回饋，那麼將達到一個平衡狀態，維持一段時間的動態穩定。

網路學的研究告訴我們許多自然界與人為的組織都具備某些共同特性。這些特性似乎是所有穩定的組織（面臨外界與內部不可預期之變動影響下能夠自我調整以維持平 衡穩定）所必備的。其中一個重要的特性就是超級聯絡人的存在。如果組織中的某個節點和非常多其他節點保持資訊交換，就是超級聯絡人。很顯然的，這種節點的 存在與資訊處理成本相關。

在一個經濟產業中，超級聯絡人通常也是財富的擁有者，或者是資源的掌控者，因此我說資訊透明化會產生超級贏家。至於資訊透明化是否能和馬太效應畫上等號，我會說這問題問的不對，應該問的是資訊透明化是否會導致馬太效應？

其答案可能是對的也可能是錯的。組織資源集中的程度我相信與網路中一個參數有關，就是所謂的冪次係數（註一）。這個參數越大，資源集中的情形越嚴重，而根據 網路學家觀察結果，許多穩定的組織各自具備其冪次係數，可以大也可以小。這個係數會與透明化的程度相關是一定的，然如何相關法就不是我能回答的了。

註一：
組織中各節點與其他節點的溝通強度往往不是呈現常態分布，而是屬於冪次分布。就是說具備某種溝通強度的節點的數目會隨者強度的增加而以某種倍數關係遞減，這 個特定的倍數就是冪次係數。如果在整建產業中我們發現有10個客戶的業者的數量是有20個客戶之業者數量的2.5倍，那麼這個產業的冪次係數就是2.5。 奇妙的是，不管客戶數量多少，這個神奇數字往往都是一樣的。

機制建構可以是資訊累加的過程，也可以不是

遞迴程序讓機制建構過程中重複的動作卻可以產生資訊累加的效果。如果不是遞迴而只是在同樣條件下重複某一個動作，那麼其所產生的資訊只是多餘的副本，所建造的機構不會增加資訊。

可以增加資訊的遞迴程序和不能增加資訊的遞迴程序的差異在哪裡?我們如何判別一個遞迴程序只是單調的重覆已知構造，或者會帶來突顯的新性質？

未完待續

無所不在的對稱性

任何存在事物一定具備對稱性。因為存在，所以證明一件事，就是創造它的機制，以及維護它的機制至少在一段期間內一定比破壞它有更大出現的機率。事件發生的機率要看事件複雜的程度而定。如果一個事件與很多其他事件相關，必須每一項條件都滿足了才會發生，那麼這種事件發生的機率就很低很低，而複雜的事物需要經由複雜的事件所創造。因此，我們可以說在能夠存在的事物當中，複雜的事物比較罕見，而且通常有某種保護其不受破壞的機制與之共存。簡單的事物可以不需要保護機制也能存在，因為破壞它與建造它的事件發生的機率差異不大。

晶體是一個例子。水在任何時候都有創造和破壞的事件同時發生。水分子與水分子以適當角度接近時會有電磁力連結彼此。這個結構又隨時可能因受到其他水分子撞擊或自身的振動而脫落。當溫度高，分子之間撞擊力道強時晶體存在的機率變低，因為創造的事件不比破壞事件發生的機率高。當溫度降至零度以下時，晶體結構創造的機率高於破壞的機率而得以成長。

晶體有對稱性，因為是經由相類似的事件不斷發生累積而來。萬事萬物也是如此。

生物也有對稱性。生物形成對稱性的原因有許多，其中一個重要關鍵就是生物能夠藉由複製自己產生下一代，來維護自身機構的存在。複製自己是一項了不起的成就。任何機構的建造必須要有資訊作為指揮生產的藍圖１。也就是說生物要複製自己，就必須自備一份生產藍圖描述自身的機構。藍圖也是由某種機構構成，一份藍圖要描述的機構通常比其自身複雜，也內涵更多資訊，否則就沒有意義了。怎樣才能用簡單的資訊描述複雜的機構？關鍵在於對稱性。所以任何經由藍圖描述建構而成的機構，必定內涵豐富的對稱性。生物要複製自己也要複製這份藍圖。藍圖本身就具有高度的對稱性，否則其複製的機制一定非常複雜，遭受破壞的機率可能高於建造的機率。高度對稱的藍圖所建造出來的機制，可能也同樣是有高度的對稱性質的。

註解

1. 藍圖是一份能夠紀錄資訊的媒介，乃是透過某種構造的保存，經過解碼將所儲存的資訊還原。而這份解讀出來的資訊可以作為控制某種機制的指令，把所描述的機構建造起來。

後記(2016/10/20)
一份藍圖所描述的機構通常比藍圖自身要複雜, 這句話似乎違背了溝通理論的基本原理。根據藍圖建照成實物的過程也是一種溝通過程，任何溝通的過程只會造成資訊流失, 而不會產出更多的資訊。因此, 根據一份圖所建之物不能夠比藍圖本身攜帶更多資訊。這個說法中所沒有考慮到是溝通程序在解碼的過程中，如果解碼者需要作出許多並不在原先訊息所攜帶的資訊範圍內的決定, 那麼解碼的結果確實被加入了許多資訊來源所不具備的資訊。

後記(2019/4/18)
這個說法也不正確, 當時寫這個筆記時的理解有許多錯誤。解碼的過程並不需要加入資訊, 而應該說溝通的過程所傳遞的資訊是為了「分辨」, 而不是為了敘述。

行人與電子的類比

環境行為學者觀察行人在空間中移動模式時所遭遇的處境似乎有點像量子物理學家在觀察電子。首先，電子是測不準的，因為觀察必然會干預到電子的行為，行人也是。第二，機率是描述電子的語言，而行人的行為基本上無法預測，但卻可以用機率來描述大群的行人，或者單一行人長時間的行為模式。我們可以觀察空間中行人出現在某個位置，展現某種行為的機率，或者是跟蹤少數的行人，觀察其行為模式，但是我們無法觀察其行為舉止背後的動機，並據以預測其後續行動，或解釋其先前的行為舉止。

如果我們只觀察行人出現在每一個位置的機率，不需管她是誰，想要做甚麼，往哪裡去。只用機率幅來描述空間中行人出現的機率，這樣的表示方法會不會有甚麼用處？一個空間變成一個場，場中每個點為行人出現的機率。

機率－化簡馭繁的屠龍寶刀

機率是幫助我們簡化複雜現象的法寶。任何事情，如果會受到多 不勝數的物件、事件或環境因素的影響，就很有可能可以用機率簡單化解此困難的處境，讓我們可以用簡單到難以置信的方法來分析或預測該事情的發展。最先想到 的例子當然就是骰子了。一顆骰子被拋出，掉落、翻滾、彈跳，最後靜止在桌面上，其中一面朝上顯示出一個數字。這是一個極其複雜的物理現象，我們需要計算拋 出的力道、方向、骰子的重量、重心、彈性係數、氣流、阻力、摩擦力.....等等多不勝數的物理性質如何影響骰子的運動過程。一顆骰子都已經這麼複雜，那 麼一千顆骰子呢？極其簡單，賭場只要能夠吸引一千位客人來擲骰子，幾乎可以說就是穩賺不賠。以下是兩個例子：

計算任意圖形的面積

• 把圖形填滿畫在一張紙上，然後用另一張紙蓋起來。在這張紙上任意（隨機，每一次戳洞不受先前已戳之洞的影響）戳洞，計算破洞的總數ｎ，以及破洞顯示出圖形顏色的次數ｍ。
• A*m/n的值隨著n值的增加將趨近於圖形的面積，A指覆蓋紙張的面積。

期末考時每一位同學都拿著一隻小手電筒被單獨囚禁在一個漆黑的房間，房中有下列物件：

• 一盒兩千片的拼圖，拼好後是一張50公分見方，比例尺為二萬分之一的衛星照片
• 房間裡面有鉛筆、白紙、量角器、計算機和比例尺

你有一個小時來計算照片中綠地的總面積，算的最準的人才能及格。怎麼辦？

關於組織

以下是一篇多年前的老文章，正好翻出來，做了一點修改後姑且放在這裡。

組織的定義可以簡化為「一群交換資訊的個體」，而這所謂的個體不見得就是人，可以是任何「資訊處理單元」，也就是能夠接受/產出資訊的單元。至於這個組織是否 展現自我組織的現象，是否彼此合作，是否擴展個體能力，是否達成個體所不能等等，則是我們希望藉由研究進一步瞭解的現象，例如哪一種組織可以具備創造力？ 什麼樣結構的組織引發合作的行為？等等（註一）。

自 我組織的現象無所不在，例如沙漠的沙丘在風吹襲下變化無常，卻總是形成特定的形狀、一株海綿被外力打碎之後自動回復其大致的型態、一個國家經過權力交替之 後政府照常運作等等，都是一個組織因內部變動或外來資訊引發其溝通模式的重整，個體所扮演的角色可能改變（原來在下面的砂子跑到上面、原來的政治犯成為國 家領導），但組織全體卻維持一個特定的模式。自我組織是學習能力的根源。

說白蟻群是具有學習能力的組織。白蟻至少二億年前就演化出來，成 為具有高度文明的社會群體，其間經歷多少外在環境嚴厲的挑戰，沒有學習能力是不可能辦到的。試想人類的住宅和森林的環境有多大差異？白蟻群沒有學習能力的 話怎麼可能在這兩種極端的環境都生存下來？白蟻窩的建築成就可能人也辦不到，可以想像把全台北市人口都集中在一座比101高兩倍的大樓，生老病死吃喝拉撒 都在其中，內部溫度不論冬夏都維持在穩定的範圍（註二）。更不可思議的，是歷經數十年甚至上百年未間斷的營造與維護，從小住宅擴大到摩天大樓這個過程中從 未間斷使用。

註一
清楚的定義是必要的。定義含糊的推論無法被批判、否證，也失去作為科學研究的基本要件 (5107)。 所有偉大的理論都是從簡單清楚的定義開始，遠者如幾何學，近者如賽局理論。不過這不一定對刊登論文有益，要求精確會寫不出論文，含糊其詞反而可以讓評審自由詮釋成他認同的說法而提高刊登的可能性，或是隱藏錯誤讓評審抓不到。

註二
白蟻對溫度極其挑剔，低於攝氏16度或高於攝氏24度（大約，忘記了）都能影響其生存。

標準差的幾何意義

右圖是計算標準差的公式。可是為什麼要這樣算？我們可以把一份資料的ｎ個值看成是ｎ維空間中的座標，因此一份資料就是ｎ維空間中的一個點。在此看法下，標準差就是該份資料與 n維空間對角線之垂直距離的根號 n分之一。對角線就是該空間中所有向度座標都相等的點所組成的線，就是座標為(t, t, ..... t)的線 t為任一實數。

一份正好落在對角線上的資料其標準差是0，這顯然是相當無趣的資料，因為每一個值都剛好等於平均值。不過直覺上，用一份資料與對角線的距離來估計該份資料的散佈情況應該是合理的，至於根號 n分之一則是為了正規化，讓不同筆數的資料之間可以互相比較。

PS.
昨天問了幾位同學為何標準差要這樣算，有點意外的，有很多根本不了解標準差的意義，更不用說了解為什麼要這麼算了。說老實話，我不太容易體會這個問題在思考上的盲點，因為標準差算是相當直觀的概念，其算法應該也不必當作公式背，只要按照常理推斷就可以把公式設計出來。最直觀的當然是平均誤差，也就是每一個取樣與平均數之差距的平均值，然後導入空間概念，用計算距離的方式取代平均誤差就可以設計出標準差的算法與概念。需要想一下的是為何以根號 n 作為標準化的除數。我的解釋如下：

當我們要比較距離時，須考慮各項距離參考點所處空間的維度。考慮一個邊長為１的正方形區域，在其間取兩點的最大可能距離為根號２，當這個區域增加一個維度而成為正方體時，區域中任取兩點之最大可能距離為根號３。依此類推，在ｎ維空間中的「正方體」區域任取兩點，其最大可能距離為根號ｎ。因此，當不同維度空間中所量測的距離要放在一起比較時，需要除以根號ｎ來正規化，才能將在不同量測條件取得的值相互比較。另一個切入概念是說，二維空間中的線段可以是某些更高維度空間線段的投影。一個個數為ｍ的母體可以看成是在ｍ維空間中的一個點，其標準差是該點與空間對角線的距離除以根號 m。當我們用ｎ個取樣值來估計一個統計母體的標準差時，我們希望量測在ｍ維空間中母體與對角線垂直線段在ｎ維空間中投影的距離 ，但因為母體的平均值未知，取樣的平均值不太可能剛好等於母體的平均值，也因此取樣標準差對母體標準差的推估都太低了，也因此會有bessel's correction的需要。當然我們無法用投影距離推算出其在更高維度空間中的距離，不過我們可以合理的期望，如果取樣的方式適當，所忽略的m-n個維度之座標值的分佈情況與整個母體的分佈大約相同的話，將所量測出來的值除以維度的根號應該是合理的標準化差距，可以做為不同統計數值間的比較。

至於為何需要bessel's correction，以n-1取代n作為除數來計算標準差？其關鍵就是上述的，母體平均數為未知，若是以取樣值的平均數代替，所推估出來的標準差當然偏低。至於為何是n-1，而不用其他數值就需要再深入探討了。

(這個問題可以參照 丁村成老師的著作)(2011,10,16補述，謝謝　http://kevinlyu.blogspot.com/2011/05/blog-post_21.html的介紹）

下一個練習可以是兩個屬性之間相關性的分析。

生命的資訊是程序與型態的記憶

描述生命的DNA所記錄的資訊包含了形態與程序。然而其對形態的記憶並不是如一般所想的大眼睛小鼻子等身體形態。事實上我們所見到的身體形態反而是經由發育的程序而來，而發育的程序似乎是透過間接而微妙的機制讓每一個細胞知道甚麼時候該合成哪一種物質，經由化學反應鏈而引發一連串相關事件而來。基因所記錄的形態資訊是針對蛋白質的結構，等於是製造人體所需眾多蛋白質的秘密配方。程序的記憶從形態的相關性而來。形態相關性讓眾多的隨機事件有特定的選擇，而一連串特定事件的選擇就是程序。

程序與形態資訊是相互依存的。儲存形態資訊的資料可以在在更高層次，利用型態間相關性定義程序。同樣的，描述程序的資料可能在高層次的架構中隱含著形態資訊，而所謂的高層次之上還有更高的層次，一直到整批資料與周邊涵構成為一個不可分割的整體為止，就到達了最高層次。

對稱性是創造之鑰

對稱性是解讀自然奧秘之鑰，也是創造之鑰。在創造任何事物的過程中，資訊的掌控是產生結構性的關鍵。缺乏資訊的話，任何創造的動作最後只會產生隨機的混亂或者全然的單調。

創造是行動的累積成果。行動可以是具疊加性的讓結構產生；也可以是破壞性的，將多餘去除。行動的過程需要資訊，資訊的複雜度決定行動的複雜度。行動的過程通常具備某種結構，結構的產生在於資訊傳遞的模式。每一個段落的行動有密集的資訊處理程序，段落與段落之間則只有較少量的相關資訊。例如將一張紙對摺，在對摺的過程中我們需要用手和眼將紙張的一邊對齊另一邊，然後慢慢尋找中間等分的摺線所在，最後用力壓平讓紙張形成一個穩定的摺痕。這個動作是一個連貫的過程，如果動作在其間中斷，許多重要的資訊將就此消逝，必須重新取得。摺痕產生之後所創之物形成穩定狀態，這時鬆手也不會喪失關鍵的資訊。因此說動作的段落可以用資訊的相關性來區隔就是如此。

結合許多段落的連貫動作就是程序。程序的對稱性是指在時間的轉換下其程序保持不變。時間的轉換和幾何一樣，可以是平移、鏡射、縮放或者其他形式，至於旋轉因為牽涉到兩個向度，所以必然與空間有關而不會全然是在時間轉換下的對稱性。對稱的程序可能產生空間上對稱的形體，也可能不會，其關係另做討論。對稱的程序讓我們可以用簡單的資訊創造出複雜的形式。任何一個機制，包括人在內，所能處理的資訊都是受限於許多內外在的條件。一個動作程序能否被正確有效的執行也在於行動者能否掌握所需的資訊。如果建構一項物品需要一千的動作，其間沒有程序的對稱性，則創造者需正確的執行一千個動作，並掌握這一千個動作所需要的資訊。如果這一千的動作有某些可掌握的對稱性，那麼描述與控制這一千個動作的資訊就可以用更簡要的形式記下來或記錄下來。

對稱的程序動作所創造事物的外在形體也會具備某些容易觀察或者不易觀察的對稱性。對稱的部分可能源自於對稱的程序，也可能源自於對稱的環境。所謂環境是指動作發生時之處境。對稱的程序若產生非對稱的形式也是源自於與環境的互動過程中，有其他面向的對稱性必須保持。例如我們不斷的將一張紙對摺，雖然每一次的動作都一樣，但隨著摺疊次數增加，摺疊所受到阻力增加，所產生的摺角也逐漸變圓，甚至斷裂。每次摺疊都因為紙張厚度的改變而不同，其原因在於摺疊這個動作與紙張形式性質之間的物理關係是不變的，這個現象我們可說對稱的形式存在於另一個面向，因此我們說對稱性的破壞源自於其他面向的對稱性。

多面體與對稱性

參考自維基百科　http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedra的網頁後知道多面體可以用點線面的對稱性加以分類。每一種分類都無所謂的對錯，但針對特定目的而言會有適當與否的問題。而有些未針對特定目的分類則通常能直指分類對象最重要的特質，讓人在掌握這些特質後就能有通盤的了解。以點線面的對稱性來分類對多面體的了解確有很大的幫助。對建築而言，多面體點線面的對稱性在設計與工程上有重大的意義。點的對稱性代表多面體造型的構架所需節點的種類，線的對稱性代表所需桿件的種類，面的對稱性則代表所需包覆材料的種類。構架的建造方法、程序也與對稱性有關。

以富勒圓球的構築為例，圓球的基本形二十面體是高度對稱的正多面體。基本上只要一種接頭，一種桿件，一種包覆面材，用同樣的接合方式就可以組裝。如果面材本身可以相互連結，則二十片三角形用同樣的角度連接就可以完成。富勒圓球以二十面體為基礎，在每一次的精緻化過程中將每一個三角形切割為四個三角形後將新產生的三角形頂點上推至外切圓上。這個動作破壞了對稱性，需要兩種的頂點、兩種桿件與兩種三角面來構成。經歷第二次精緻化過程後會產生更多種類的頂點、桿件與包覆三角面。而這個代價則是為了維持每一個頂點對圓球中心距離之對稱性而付出的。

以下節錄自維基百科：

多面體的對稱性

高度對稱的多面體具備高度對稱的幾何特徵（點線面）。根據點線面的對稱性可以將多面體區分為下列各類別：

• Isogonal or Vertex-transitive ：多面體的每個頂點都相同。任選兩個頂點，必定存在一個對稱轉換，可將其一頂點對應到另一頂點。
• Isotoxal or Edge-transitive ：多面體的每個邊都相同。任選兩個邊，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Isohedral or Face-transitive ：多面體的每個面都相同。任選兩個面，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Regular：多面體同時是 vertex-transitive, edge-transitive 以及 face-transitive (也就是說，每一個面都必須是 regular polygon;每一個頂點也必須是 regular).
• Quasi-regular：多面體為 vertex-transitive 以及 edge-transitive (因此具備正多邊形) 但不是 face-transitive.
  
• Semi-regular：多面體為 vertex-transitive 但並非 edge-transitive, 每個面為 regular polygon. (This is one of several definitions of the term, depending on author. Some definitions overlap with the quasi-regular class). 一個 semi-regular dual則為 face-transitive但不是 vertex-transitive, and every vertex is regular.
• Uniform if it is vertex-transitive and every face is a regular polygon, i.e. it is regular, quasi-regular or semi-regular. A uniform dual is face-transitive and has regular vertices, but is not necessarily vertex-transitive).
• Noble if it is face-transitive and vertex-transitive (but not necessarily edge-transitive). The regular polyhedra are also noble; they are the only noble uniform polyhedra.

一刀能切出哪些種多邊形

一張紙經過適當的摺疊後，能不能以一刀切出所指定的多邊形?有許多種多邊形應該是沒有辦法如此切出，但一刀能切出的多邊形有哪些種呢？對於這些多邊形要如何摺疊，才能一刀切出？這個問題就是在問要如何摺疊平面才能讓一個指定的多邊形每一條邊落在同一條直線上，而且這條直線不能穿過多邊形的內部區域。

原先以為必須對稱的圖形才行，例如十字形，但後來查覺這實在是個愚蠢單純的想法，一刀當然可以切出不對稱的造型。不過且慢，那些乍看下不對稱的造型真的不對稱嗎？

任意三角形的剪法就是先以山線摺出每個角的分角線（這不就是對稱嗎？）三內角的等分線一定交叉在同一點。從這一點再以谷線摺出到其中兩邊的垂直線，就可以將三角形的三個邊對在同一直線上，沿此一刀剪下就是這個三角形。

類似的方法可以用來剪四邊形，凸四邊形與凹四邊形略有不同。凸四邊形先以山線摺出每個角的分角線，兩兩交於四個點。選擇相對的兩個點，其邊線沒有相交，摺出一條山線連接該二點。分別從這兩個點摺出一個鄰邊的垂直谷線。從其展開圖中可以找到一條彎折的線連接對角，而這個彎折的線約略區隔出兩個大致對稱的的區域，我並不清楚是否可以稱之為局部對稱，不過認為這是有趣的想法。凹四邊形則須修改山線與谷線的配置，如右下圖。

對於任意多邊形可能有一些方法可以找到摺疊的方式而一刀切出。這到底有甚麼用我不知道，但從這裏我覺得可以分析一個任意多邊形的對稱性。對於一個形狀我們不一定馬上可以看出整體的對稱性，例如鏡射或旋轉對稱，但可以藉由局部的對稱性將複雜的多邊形逐步簡化。分角線可以將多邊形相鄰的兩個邊對映在一起，而一個邊的垂直線則可以將邊的一部份與該邊的另一部份對映在一起。右圖相對的兩個角等分線的交叉點連結在一起形成的線好比是這個四邊形的脊椎骨，把整個造型分為近似對稱的兩邊。


我猜任一的凸多邊形應該沒有問題，而且可以找到通解。凹多邊形恐怕就有許多限制，而到底是哪些限制，然後哪些凹多邊形可以摺疊後一刀切出恐怕是一個困難的問題。

對稱性，以及不影響對稱性的變動

在物體千變萬化的形式中看出不變的對稱性，以及在不影響這個對稱性之下可變動的成份是非常重要的智慧。對任何事物都可以運用這個原則取得更深層次的了解，做出更具創意的運用。

我們往往為不同層次的對稱性取不同的名稱。例如當我們分析物品的形式時，一個有用的概念就是區分出功能、結構以及造型三個層次。功能是最高層級的對稱性，也就是在造型及結構改變之下，功能維持不變。例如一個杯子的功能是可以盛裝液體，並可以讓我們從杯子飲用其盛裝的液體。一個杯子可以有不同的材料、結構但功能不變，而相同的材料結構則可以改變其造型。

這三個層次對稱性的分際並不是必然的結果，而是一種選擇性的認知。可能我們在面對更簡單的事物時，只需要兩個層次；而面對更複雜的事物時，三個層次仍不足。至於是否稱為功能、結構與造型，其實也是見仁見智。真正核心的思想就是分辨不同層次的對稱性，找出不變的以及可變的。

愛斯基摩人的冰屋

此網址的影片是我看過介紹愛斯基摩人冰屋最詳盡並且正確的做法。youtube有許多宣稱為igloo的，都是有許多細節的問題的不良示範，我認為。

1. 選好地點，具備充分且硬度適當的壓實的雪。
2. 劃定圓形區域，在其內部切割矩形雪塊。所挖出的洞在冰屋內部，因此冰屋可以降低所需高度，同時建冰屋時人必須在裡面，如果人和雪塊都在在外面要如何搬運和安放？除非有兩人以上。
3. 將雪排列一圈後削切成斜坡，此後沿斜坡螺旋堆積而上，並逐漸向內部傾斜。許多影片顯示的作法為平行的圓圈一圈一圈砌，隨著傾斜度增加，要保持每一圈的第一塊不倒塌的難度會越來越高，因為第一塊只有底部與其他雪塊接觸，毫無任何支撐。如果是螺旋線旋轉而上，就沒有所謂的第一塊。每一塊都有側面的雪塊輔助支撐，所完成的雪屋才有可能趨近半圓球，否則會是難看的尖尖造型，浪費材料工夫不說，並增加散熱面積，降低強度。
4. 最後一塊完成後，在頂部挖一個小小的通氣孔，在南向立面切出開口以供出入。

這個做法是最經濟有效而堅固的，而且可以一個人獨力完成，是充滿智慧的發明。這個作法不論在造型，或者建造程序都是高度對稱。從對稱性的角度看，愛斯基摩人的冰屋有兩點值得討論，第一就是為何採取圓形為基本造型？第二是為何以螺旋線上升的方式來構築？我的看法如下：

1. 圓形是對稱性最高的造型，其形式完全沒有特徵，結構上不會產生特別強或者特別弱的部分。
2. 圓球形其容積與面積比最大，同體積的容器中以圓球形容器最不易散熱
3. 螺旋砌法在程序上最對稱，除開始與結尾外每一個步驟都一樣，在逐漸向內傾斜的過程中較不易坍塌。

和音

以Equal Temperament為基準的音階差半音的兩個音之間頻率比大約1.059463，就是2的12次方根。這個比例自乘12次之後會等於二，也就是一個八度和絃的頻率比。兩個八度和弦聲音的合成波形會與頻率較低聲音有一樣長的循環周期，耳朵聽起來會覺得是一個和諧的聲音，不會有抖動的感受。如果兩個聲音是五度和弦的話，例如C和G，其頻率比例是1.059463的7次方，大約是1.5，也就是3/2。如果再加上一個E，其與C之間是大三度，頻率比是1.059463的4次方，大約1.26，接近1.25，也就是5/4。E與G之間則差了三個半音，頻率比是1.059463的3次方，大約1.189，接近1.2，也就是6/5。CEG三個音之間的頻率比值大約是4:5:6，是簡單的整數比。

對稱性是一切複雜的來源

對稱性是從簡單的源頭到複雜結構的緣由，也是美的緣由。物理學家追求物質世界對稱性之美，數學家追求抽像結構對稱性之美，音樂家追求聲音結構對稱性之美，建築師追求構造物對稱之美....

所有自然或者人造事物，無一不是由簡單的源頭經由對稱性的建構而成。即使是表面上對稱的破壞也都是因著更深層對稱性的建構而來。以精簡的資訊建構複雜構造的唯一途徑就是重複。但重複通常只會帶來單調而不是複雜。關鍵在於對稱性並非單一而是多層次，多面向。層次與次之間，面向與面向之間各種對稱性互相干涉，而產生複雜瑰麗的形式。

一個C的音調是由簡單重複的波形而來。如果再加上一個E，在原本單調重複的波形上疊加了更高頻率的簡單重複波形，兩個對稱形式互相干涉成為和諧的整體。

問題出在考試？

問題出在考試，以及我們所認定的考試價值。

窩闊台死於哪一年並不那麼重要，之所以會考，是因為有標準答案。
窩闊台當年沒死的話，歐洲會怎樣？這沒有標準答案，所以聯考無法考，老師也就不會考，去想這個問題的學生得不到機會和同學及老師討論這個問題。

為什麼聯考不能考這樣的問題？因為我們把聯考成績和學生的命運綁在一起了，如果出了這種不能改出分數的題目就有人要辭職失業。

話說回來，考試其實是很有效的溝通方式。考試可以讓學生知道老師認為甚麼是重要的，是對的，可以讓老師知道學生會了甚麼，想了甚麼。考試成績表示學生學的和老師認為重要的有多少相同的地方。成績不好表示學生沒學到老師想教的，或者是有不同的想法。把考試當作評量工具確實不好出題，因為這世上有標準答案的東西通常不是很有趣，在面對真實世界的問題時不見得是最有用的。有用的是觀察的能力，是處理問題的能力，以及掌握時間與資源的能力。