多面體與對稱性

參考自維基百科　http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedra的網頁後知道多面體可以用點線面的對稱性加以分類。每一種分類都無所謂的對錯，但針對特定目的而言會有適當與否的問題。而有些未針對特定目的分類則通常能直指分類對象最重要的特質，讓人在掌握這些特質後就能有通盤的了解。以點線面的對稱性來分類對多面體的了解確有很大的幫助。對建築而言，多面體點線面的對稱性在設計與工程上有重大的意義。點的對稱性代表多面體造型的構架所需節點的種類，線的對稱性代表所需桿件的種類，面的對稱性則代表所需包覆材料的種類。構架的建造方法、程序也與對稱性有關。

以富勒圓球的構築為例，圓球的基本形二十面體是高度對稱的正多面體。基本上只要一種接頭，一種桿件，一種包覆面材，用同樣的接合方式就可以組裝。如果面材本身可以相互連結，則二十片三角形用同樣的角度連接就可以完成。富勒圓球以二十面體為基礎，在每一次的精緻化過程中將每一個三角形切割為四個三角形後將新產生的三角形頂點上推至外切圓上。這個動作破壞了對稱性，需要兩種的頂點、兩種桿件與兩種三角面來構成。經歷第二次精緻化過程後會產生更多種類的頂點、桿件與包覆三角面。而這個代價則是為了維持每一個頂點對圓球中心距離之對稱性而付出的。

以下節錄自維基百科：

多面體的對稱性

高度對稱的多面體具備高度對稱的幾何特徵（點線面）。根據點線面的對稱性可以將多面體區分為下列各類別：

• Isogonal or Vertex-transitive ：多面體的每個頂點都相同。任選兩個頂點，必定存在一個對稱轉換，可將其一頂點對應到另一頂點。
• Isotoxal or Edge-transitive ：多面體的每個邊都相同。任選兩個邊，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Isohedral or Face-transitive ：多面體的每個面都相同。任選兩個面，必定存在一個對稱轉換，可將其一邊對應至另一邊。
• Regular：多面體同時是 vertex-transitive, edge-transitive 以及 face-transitive (也就是說，每一個面都必須是 regular polygon;每一個頂點也必須是 regular).
• Quasi-regular：多面體為 vertex-transitive 以及 edge-transitive (因此具備正多邊形) 但不是 face-transitive.
  
• Semi-regular：多面體為 vertex-transitive 但並非 edge-transitive, 每個面為 regular polygon. (This is one of several definitions of the term, depending on author. Some definitions overlap with the quasi-regular class). 一個 semi-regular dual則為 face-transitive但不是 vertex-transitive, and every vertex is regular.
• Uniform if it is vertex-transitive and every face is a regular polygon, i.e. it is regular, quasi-regular or semi-regular. A uniform dual is face-transitive and has regular vertices, but is not necessarily vertex-transitive).
• Noble if it is face-transitive and vertex-transitive (but not necessarily edge-transitive). The regular polyhedra are also noble; they are the only noble uniform polyhedra.