圓頂的構造 An example of geodesic dome by Grasshopper

常常看到同學作設計時以地球儀的方式來畫圓頂構造．其實圓頂構造如果以Bulkminster Fuller（參照　http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic_dome）於1926年提出之數學建構方式設計，在結構與工程上，甚至外觀上都可以更好。

模仿地球儀的構造可能是最直接的，不過在垂直向度上，各角度經線最後集中在南北極的兩個點上。如果直接以經緯線作為結構的支撐，顯然這是極不合理的構造。最好的結構系統應該沒有任何部分的結構強度相對於其可能受力是過強或者過弱。過強是浪費，而過弱則讓整體結構安全性下降。圓球是極為對稱的造型，而地球儀般分布極為不均勻的構造方式不可能是合理的。如果以半球形圓頂為例，地球儀構造的重量集中在最高點，其強度沒有發揮的機會，而其重量造成下層結構的負擔。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/220px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/G%C3%A9ode_V_3_1.gif

上圖是從wikipedia連結的圓球，以繪製地球儀的方式繪製。可以看出構造上最密集的地方就在南北極兩個頂點。另外一張上圖也是從wikipedia連結過來的圖片，是以Fuller提出的幾何結構畫出來，一個近似圓球的多面體。依據Fuller的方法，這個多面體可以無限制的依照需求加以細緻化為更接近圓球的造型。

一般的電腦繪圖系統可能沒有提供這種geodesic dome的繪製功能。我用Rhino Grasshopper建了兩個component。(下載檔案) 第一個是繪製一個二十面體(icosahedron)，也就是geodesic dome的基本型。第二個component是以visual basic在grasshopper中寫出，可以對以mesh表示之二十面體或其他的多面體加以細化成更近似圓球的多面體，其結果以mesh表示。以下就是程式產出的結果，分別是經過0次，1次，3次與5次的細化。細化的次數在理論上可以沒有限制，但第五次細化後已經有20480個三角形，所以這個程式把上限設在5次，如果需要更高階的細化只要進入程式改一下就可以了，能執行到多高階的細化就看電腦的速度和記憶體容量了。這種構造乍看之下是由許多正三角形構成，但實質上不管是多細緻的geodesic dome，整個圓球只有二十個正三角形，就是從其原型正二十面體的二十個正三角在細緻化過程其對稱性未受破壞而保留下來的，其餘的所有三角形都有不相等的邊長。幾何上不可能由正三角形來構成近似圓球的曲面，因為圓球的高斯曲率大於零，環繞在同一個頂點的三角形角度的總和必定小於360度。如果是正三角形60度的角，六個正好是360，五個又太小，只能形成像二十面體一樣的多面體，和圓球曲面有很大的差距。（台灣大哥大的球形標誌就是一個錯誤的例子，以六個正三角形環繞頂點的近似球體是不可能被實際建構出來的，因此如果該公司想要將這個標誌製作成實體的話，其構成的三角形必定不等邊，比例上大概也不太好看）Geodesic Dome細緻化過程是一種對稱性破壞的過程，越細緻的圓球需要越多種不同長度的桿件來組構。

下圖也是引用自wikipedia，是Fuller於1967年蒙特婁世界博覽會所設計的美國館，是一個直徑60公尺的3/4圓球，由雙層　geodesic dome構成，結構極為輕盈，遠看就像肥皂泡一樣。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Mtl._Biosphere_in_Sept._2004.jpg/300px-Mtl._Biosphere_in_Sept._2004.jpg

無所不在的對稱性

任何存在事物一定具備對稱性。因為存在，所以證明一件事，就是創造它的機制，以及維護它的機制至少在一段期間內一定比破壞它有更大出現的機率。事件發生的機率要看事件複雜的程度而定。如果一個事件與很多其他事件相關，必須每一項條件都滿足了才會發生，那麼這種事件發生的機率就很低很低，而複雜的事物需要經由複雜的事件所創造。因此，我們可以說在能夠存在的事物當中，複雜的事物比較罕見，而且通常有某種保護其不受破壞的機制與之共存。簡單的事物可以不需要保護機制也能存在，因為破壞它與建造它的事件發生的機率差異不大。

晶體是一個例子。水在任何時候都有創造和破壞的事件同時發生。水分子與水分子以適當角度接近時會有電磁力連結彼此。這個結構又隨時可能因受到其他水分子撞擊或自身的振動而脫落。當溫度高，分子之間撞擊力道強時晶體存在的機率變低，因為創造的事件不比破壞事件發生的機率高。當溫度降至零度以下時，晶體結構創造的機率高於破壞的機率而得以成長。

晶體有對稱性，因為是經由相類似的事件不斷發生累積而來。萬事萬物也是如此。

生物也有對稱性。生物形成對稱性的原因有許多，其中一個重要關鍵就是生物能夠藉由複製自己產生下一代，來維護自身機構的存在。複製自己是一項了不起的成就。任何機構的建造必須要有資訊作為指揮生產的藍圖１。也就是說生物要複製自己，就必須自備一份生產藍圖描述自身的機構。藍圖也是由某種機構構成，一份藍圖要描述的機構通常比其自身複雜，也內涵更多資訊，否則就沒有意義了。怎樣才能用簡單的資訊描述複雜的機構？關鍵在於對稱性。所以任何經由藍圖描述建構而成的機構，必定內涵豐富的對稱性。生物要複製自己也要複製這份藍圖。藍圖本身就具有高度的對稱性，否則其複製的機制一定非常複雜，遭受破壞的機率可能高於建造的機率。高度對稱的藍圖所建造出來的機制，可能也同樣是有高度的對稱性質的。

註解

1. 藍圖是一份能夠紀錄資訊的媒介，乃是透過某種構造的保存，經過解碼將所儲存的資訊還原。而這份解讀出來的資訊可以作為控制某種機制的指令，把所描述的機構建造起來。

後記(2016/10/20)
一份藍圖所描述的機構通常比藍圖自身要複雜, 這句話似乎違背了溝通理論的基本原理。根據藍圖建照成實物的過程也是一種溝通過程，任何溝通的過程只會造成資訊流失, 而不會產出更多的資訊。因此, 根據一份圖所建之物不能夠比藍圖本身攜帶更多資訊。這個說法中所沒有考慮到是溝通程序在解碼的過程中，如果解碼者需要作出許多並不在原先訊息所攜帶的資訊範圍內的決定, 那麼解碼的結果確實被加入了許多資訊來源所不具備的資訊。

後記(2019/4/18)
這個說法也不正確, 當時寫這個筆記時的理解有許多錯誤。解碼的過程並不需要加入資訊, 而應該說溝通的過程所傳遞的資訊是為了「分辨」, 而不是為了敘述。

對稱性是創造之鑰

對稱性是解讀自然奧秘之鑰，也是創造之鑰。在創造任何事物的過程中，資訊的掌控是產生結構性的關鍵。缺乏資訊的話，任何創造的動作最後只會產生隨機的混亂或者全然的單調。

創造是行動的累積成果。行動可以是具疊加性的讓結構產生；也可以是破壞性的，將多餘去除。行動的過程需要資訊，資訊的複雜度決定行動的複雜度。行動的過程通常具備某種結構，結構的產生在於資訊傳遞的模式。每一個段落的行動有密集的資訊處理程序，段落與段落之間則只有較少量的相關資訊。例如將一張紙對摺，在對摺的過程中我們需要用手和眼將紙張的一邊對齊另一邊，然後慢慢尋找中間等分的摺線所在，最後用力壓平讓紙張形成一個穩定的摺痕。這個動作是一個連貫的過程，如果動作在其間中斷，許多重要的資訊將就此消逝，必須重新取得。摺痕產生之後所創之物形成穩定狀態，這時鬆手也不會喪失關鍵的資訊。因此說動作的段落可以用資訊的相關性來區隔就是如此。

結合許多段落的連貫動作就是程序。程序的對稱性是指在時間的轉換下其程序保持不變。時間的轉換和幾何一樣，可以是平移、鏡射、縮放或者其他形式，至於旋轉因為牽涉到兩個向度，所以必然與空間有關而不會全然是在時間轉換下的對稱性。對稱的程序可能產生空間上對稱的形體，也可能不會，其關係另做討論。對稱的程序讓我們可以用簡單的資訊創造出複雜的形式。任何一個機制，包括人在內，所能處理的資訊都是受限於許多內外在的條件。一個動作程序能否被正確有效的執行也在於行動者能否掌握所需的資訊。如果建構一項物品需要一千的動作，其間沒有程序的對稱性，則創造者需正確的執行一千個動作，並掌握這一千個動作所需要的資訊。如果這一千的動作有某些可掌握的對稱性，那麼描述與控制這一千個動作的資訊就可以用更簡要的形式記下來或記錄下來。

對稱的程序動作所創造事物的外在形體也會具備某些容易觀察或者不易觀察的對稱性。對稱的部分可能源自於對稱的程序，也可能源自於對稱的環境。所謂環境是指動作發生時之處境。對稱的程序若產生非對稱的形式也是源自於與環境的互動過程中，有其他面向的對稱性必須保持。例如我們不斷的將一張紙對摺，雖然每一次的動作都一樣，但隨著摺疊次數增加，摺疊所受到阻力增加，所產生的摺角也逐漸變圓，甚至斷裂。每次摺疊都因為紙張厚度的改變而不同，其原因在於摺疊這個動作與紙張形式性質之間的物理關係是不變的，這個現象我們可說對稱的形式存在於另一個面向，因此我們說對稱性的破壞源自於其他面向的對稱性。

一刀能切出哪些種多邊形

一張紙經過適當的摺疊後，能不能以一刀切出所指定的多邊形?有許多種多邊形應該是沒有辦法如此切出，但一刀能切出的多邊形有哪些種呢？對於這些多邊形要如何摺疊，才能一刀切出？這個問題就是在問要如何摺疊平面才能讓一個指定的多邊形每一條邊落在同一條直線上，而且這條直線不能穿過多邊形的內部區域。

原先以為必須對稱的圖形才行，例如十字形，但後來查覺這實在是個愚蠢單純的想法，一刀當然可以切出不對稱的造型。不過且慢，那些乍看下不對稱的造型真的不對稱嗎？

任意三角形的剪法就是先以山線摺出每個角的分角線（這不就是對稱嗎？）三內角的等分線一定交叉在同一點。從這一點再以谷線摺出到其中兩邊的垂直線，就可以將三角形的三個邊對在同一直線上，沿此一刀剪下就是這個三角形。

類似的方法可以用來剪四邊形，凸四邊形與凹四邊形略有不同。凸四邊形先以山線摺出每個角的分角線，兩兩交於四個點。選擇相對的兩個點，其邊線沒有相交，摺出一條山線連接該二點。分別從這兩個點摺出一個鄰邊的垂直谷線。從其展開圖中可以找到一條彎折的線連接對角，而這個彎折的線約略區隔出兩個大致對稱的的區域，我並不清楚是否可以稱之為局部對稱，不過認為這是有趣的想法。凹四邊形則須修改山線與谷線的配置，如右下圖。

對於任意多邊形可能有一些方法可以找到摺疊的方式而一刀切出。這到底有甚麼用我不知道，但從這裏我覺得可以分析一個任意多邊形的對稱性。對於一個形狀我們不一定馬上可以看出整體的對稱性，例如鏡射或旋轉對稱，但可以藉由局部的對稱性將複雜的多邊形逐步簡化。分角線可以將多邊形相鄰的兩個邊對映在一起，而一個邊的垂直線則可以將邊的一部份與該邊的另一部份對映在一起。右圖相對的兩個角等分線的交叉點連結在一起形成的線好比是這個四邊形的脊椎骨，把整個造型分為近似對稱的兩邊。


我猜任一的凸多邊形應該沒有問題，而且可以找到通解。凹多邊形恐怕就有許多限制，而到底是哪些限制，然後哪些凹多邊形可以摺疊後一刀切出恐怕是一個困難的問題。

對稱性，以及不影響對稱性的變動

在物體千變萬化的形式中看出不變的對稱性，以及在不影響這個對稱性之下可變動的成份是非常重要的智慧。對任何事物都可以運用這個原則取得更深層次的了解，做出更具創意的運用。

我們往往為不同層次的對稱性取不同的名稱。例如當我們分析物品的形式時，一個有用的概念就是區分出功能、結構以及造型三個層次。功能是最高層級的對稱性，也就是在造型及結構改變之下，功能維持不變。例如一個杯子的功能是可以盛裝液體，並可以讓我們從杯子飲用其盛裝的液體。一個杯子可以有不同的材料、結構但功能不變，而相同的材料結構則可以改變其造型。

這三個層次對稱性的分際並不是必然的結果，而是一種選擇性的認知。可能我們在面對更簡單的事物時，只需要兩個層次；而面對更複雜的事物時，三個層次仍不足。至於是否稱為功能、結構與造型，其實也是見仁見智。真正核心的思想就是分辨不同層次的對稱性，找出不變的以及可變的。

愛斯基摩人的冰屋

此網址的影片是我看過介紹愛斯基摩人冰屋最詳盡並且正確的做法。youtube有許多宣稱為igloo的，都是有許多細節的問題的不良示範，我認為。

1. 選好地點，具備充分且硬度適當的壓實的雪。
2. 劃定圓形區域，在其內部切割矩形雪塊。所挖出的洞在冰屋內部，因此冰屋可以降低所需高度，同時建冰屋時人必須在裡面，如果人和雪塊都在在外面要如何搬運和安放？除非有兩人以上。
3. 將雪排列一圈後削切成斜坡，此後沿斜坡螺旋堆積而上，並逐漸向內部傾斜。許多影片顯示的作法為平行的圓圈一圈一圈砌，隨著傾斜度增加，要保持每一圈的第一塊不倒塌的難度會越來越高，因為第一塊只有底部與其他雪塊接觸，毫無任何支撐。如果是螺旋線旋轉而上，就沒有所謂的第一塊。每一塊都有側面的雪塊輔助支撐，所完成的雪屋才有可能趨近半圓球，否則會是難看的尖尖造型，浪費材料工夫不說，並增加散熱面積，降低強度。
4. 最後一塊完成後，在頂部挖一個小小的通氣孔，在南向立面切出開口以供出入。

這個做法是最經濟有效而堅固的，而且可以一個人獨力完成，是充滿智慧的發明。這個作法不論在造型，或者建造程序都是高度對稱。從對稱性的角度看，愛斯基摩人的冰屋有兩點值得討論，第一就是為何採取圓形為基本造型？第二是為何以螺旋線上升的方式來構築？我的看法如下：

1. 圓形是對稱性最高的造型，其形式完全沒有特徵，結構上不會產生特別強或者特別弱的部分。
2. 圓球形其容積與面積比最大，同體積的容器中以圓球形容器最不易散熱
3. 螺旋砌法在程序上最對稱，除開始與結尾外每一個步驟都一樣，在逐漸向內傾斜的過程中較不易坍塌。

和音

以Equal Temperament為基準的音階差半音的兩個音之間頻率比大約1.059463，就是2的12次方根。這個比例自乘12次之後會等於二，也就是一個八度和絃的頻率比。兩個八度和弦聲音的合成波形會與頻率較低聲音有一樣長的循環周期，耳朵聽起來會覺得是一個和諧的聲音，不會有抖動的感受。如果兩個聲音是五度和弦的話，例如C和G，其頻率比例是1.059463的7次方，大約是1.5，也就是3/2。如果再加上一個E，其與C之間是大三度，頻率比是1.059463的4次方，大約1.26，接近1.25，也就是5/4。E與G之間則差了三個半音，頻率比是1.059463的3次方，大約1.189，接近1.2，也就是6/5。CEG三個音之間的頻率比值大約是4:5:6，是簡單的整數比。

對稱性是一切複雜的來源

對稱性是從簡單的源頭到複雜結構的緣由，也是美的緣由。物理學家追求物質世界對稱性之美，數學家追求抽像結構對稱性之美，音樂家追求聲音結構對稱性之美，建築師追求構造物對稱之美....

所有自然或者人造事物，無一不是由簡單的源頭經由對稱性的建構而成。即使是表面上對稱的破壞也都是因著更深層對稱性的建構而來。以精簡的資訊建構複雜構造的唯一途徑就是重複。但重複通常只會帶來單調而不是複雜。關鍵在於對稱性並非單一而是多層次，多面向。層次與次之間，面向與面向之間各種對稱性互相干涉，而產生複雜瑰麗的形式。

一個C的音調是由簡單重複的波形而來。如果再加上一個E，在原本單調重複的波形上疊加了更高頻率的簡單重複波形，兩個對稱形式互相干涉成為和諧的整體。